Юсиф Велиев родился 22 марта 1917 года в Дербенте. С 1933 по 1936 год учился в Бакинском театральном техникуме. В студенческие годы играл в массовке в спектаклях Драматического театра. После окончания театрального техникума до 1949 года играл в Шекинском государственном драматическом театре. Дебютной ролью Юсифа Велиева в кино стала эпизодическая роль одного из членов комиссии в фильме Бахтияр (1955). Велиев снялся более чем в 30 фильмах, снятых на киностудии «Азербайджанфильм». Помимо актёрской деятельности Велиев также занимался озвучиванием фильмов.
Награждён орденом «Знак Почёта». В 1960 году Юсиф Велиев был удостоен звания Заслуженного артиста Азербайджана, а в 1979 году — Народного артиста Азербайджана. Скончался актёр 18 марта 1980 года.