Elxan Quliyev 1 noyabr 1952-ci ildə anadan olub.

1974-ci ildə M.A.Əliyev adına Azərbaycan Dövlət İncəsənət İnstitutunun dram və kino aktyorluğu fakültəsini bitirmişdir. Təyinatla Akademik Milli Dram Teatrına gələn Elxan Quliyev, teatrın səhnəsində aşağıdakı rolları oynamışdır.

3-cü qardaş ("Yatmış gözəl və yeddi qardaş" Aleksandr Puşkin), Döyüşçü ("Qılınc və qələm" Məmməd Səid Ordubadi), Zəncirvuran ("Dəli yığıncağı" Cəlil Məmmədquluzadə), Laldinməz polis ("Səhra yuxuları" Anar), Kaytens ("Maqbet" Vilyam Şekspir), Ata ("Anamın kitabı" C.Məmmədquluzadə), Kinto ("Xanuma" A.Saqareli), Alman oğlu ("İnsan" Səməd Vurğun), Sərkərdə Teymur ("Vaqif" S. Vurğun), Kəramət ("Fəryad" Bəxtiyar Vahabzadə), Jurnalist ("Şeyx Xiyabani" İsmayıl Əfəndiyev), Ağa Bəşir ("Lənkəran xanının vəziri" Mirzə Fətəli Axundov), Qarğış ("Qızıl teşt" Seyran Səxavət), Osvald ("Kral Lir" V.Şekspir), Erkin ("Özümüzü kəsən qılınc" B.Vahabzadə), Yarqıtay ("Dar ağacı" B.Vahabzadə), Pedro ("Kəllə" Nazim Hikmət), Mirzə Cəlil Məmmədquluzadə ("Hərənin öz payı" Xeyrəddin Qoca), Əkbər ("Rəqabət" B.Vahabzadə), Polis qonşu ("Qatil" Elçin), Zindanbaşı və Enobarb ("Misir gecələri" səhnə redaksiyasının müəllifi Mərahim Fərzəlibəyov), Mir Bağır ağa ("Ölülər", Cəlil Məmmədquluzadə), İvan Kuzmiç Şpekin ("Müfəttiş", Nikolay Qoqol).

Elxan Quliyev Azərbaycan Dövlət televiziyasında hazırlanmış "Şərqin səhəri" (Bayram), "Sarıköynək və Valehin nağılı" (Rövşən), "6-cı palata" (Vanya), "Şöhrət və unudulan adam" (Fotoqraf), "Hacı Qara" (Səfər bəy) və s. teletamaşalarda, "Azərbaycanfilm" kinostudiyasında çəkilmiş "Sevinc buxtası" (Elxan), "Ani dönüş" (Oqtay), "Pəncərə" (Sahə müvəkkili), "İstintaq" (Milis mayoru) filmlərində çəkilib.

2002-ci ildə Azərbaycan Respublikasının Əməkdar Artisti fəxri adına layiq görülmüşdür. 1 may 2017-ci ildə Prezident Mükafatına layiq görülmüşdür.